Научные результаты

Результаты, полученные коллективом в 2016 году

  • Достигнуты новые успехи в изучении банаховых пределов:

Скачать (.pdf)

Установлены критерии В-собственности оператора (свойство, означающее инвариантность множества банаховых пределов относительно сопряженного оператора) и новые свойства экстремальных точек множества инвариантных пределов. Найдены условия выпуклости сфер множества банаховых пределов. Кроме того, изучены множества точек на плоскости с целочисленными расстояниями, не принадлежащие никакой прямой. Получены оценки минимального диаметра таких множеств. Изучены оптимальные наборы таких множеств, т.е. множеств с минимальным диаметром. Написана компьютерная программа, с помощью которой вычисляется минимальный диаметр множеств, когда число точек не более 43.

  • Были исследованы вопросы предельного поведения модели движения жидкости Гершель-Балкли в случае p >= (3n+4)/(n+2). На основе аппроксимационно-топологического подхода к исследованию задач гидродинамики доказано существование траекторного и глобального аттракторов рассматриваемой модели
  • Исследовался вопрос существования аттракторов для модели Бингама на трёхмерном торе. Получена теорема существования траекторного и глобального аттракторов.
  • Для математической модели, описывающей движение слабо концентрированных водных растворов полимеров с реологическим соотношением, удовлетворяющим принципу объективности, изучены вопросы существования пулбек-аттракторов. Получены теоремы существования траекторного и минимального pullback-аттракторов.
  • Изучены вопросы существования слабых решений начально-краевой задачи, описывающей математическую модель движения сред типа жидкости Фойгта. Для рассматриваемой математической модели, в которой учитывалась зависимость вязкости от температуры, что привело к появлению дополнительного параболического уравнения – закона сохранения энергии, введено понятие слабого решения, дана операторная трактовка рассматриваемой задачи, введена вспомогательная задача, получены необходимые априорные оценки, доказано на основе теории степени Лере-Шаудера существование слабых решений вспомогательной задачи, и получен предельный переход решений вспомогательной задачи к решениям исходной.
  • Для модели Джеффриса-Олдройда установлено существование слабых решений, определено семейство пространств траекторий, введены понятия траекторного и минимального pullback-аттракторов и доказано существование этих аттракторов.
  • Исследована задача о малых движениях и собственных колебаниях гидросистемы «идеальная жидкость-баротропный газ», находящейся в произвольной ограниченной области. Проведено исследование спектральной задачи о нахождении частот и форм собственных колебаний в цилиндрическом сосуде с произвольным поперечным сечением. Выделены спектры колебаний акустических волн, вызванных свойством баротропности газа, и гравитационно-капиллярных волн, возникающих в системе благодаря действию гравитационных и поверхностных сил.
  • Исследованы новые классы вырождающихся псевдодифференциальных операторов с переменными символами. Псевдодифференциальные операторы построены по специальному интегральному преобразованию, переводящему производные с весом в операцию умножения. Доказаны теоремы о композиции и ограниченности таких операторов в специальных весовых пространствах типа пространств С.Л. Соболева.
  • Исследованы свойства коммутаторов новых классов вырождающихся псевдодифференциальных операторов с операторами дифференцирования и операторами весового дифференцирования. Получены формулы представления коммутаторов этих операторов.
  • Исследовано поведение вырождающихся псевдодифференциальных операторов на границах областей, и доказана теорема о «следах» этих операторов на гиперплоскостях вырождения.
  • Исследована связь вырождающихся псевдодифференциальных операторов с некоторыми классами интегральных операторов, получена формула, связывающая вырождающийся псевдодифференциальный оператор с интегральным оператором специального вида. Исследован оператор, сопряженный к вырождающемуся псевдодифференциальному оператору. Получена формула представления символа этого оператора.
  • Доказаны аналоги неравенства Гординга для новых классов вырождающихся псевдодифференциальных операторов.
  • Рассмотрена модель колебаний разрывной стилтьесовской струны (цепочки из струн, соединенной между собой пружиной). Доказаны теоремы о существовании и единственности решения, исследована зависимость от начальных данных. Для промежутка времени, не превосходящего длины струны из цепочки, получено решение задачи граничного управления в случае краевых условий третьего рода. Разработан алгоритм с оценкой сходимости для нахождения приближенного решения задачи о деформации разрывной струны для случая как конечного, так и бесконечного числа точек разрыва.
  • Рассмотрены задачи о колебаниях струны с краевым условием гистерезисного типа люфт. Доказаны теоремы существования и единственности решения.
  • Исследована смешанная задача для дифференциальной системы первого порядка с двумя независимыми переменными и непрерывным потенциалом, возникающей при исследовании функционально-дифференциального уравнения с инволюцией, когда начальное условие представляет собой произвольную суммируемую с квадратом вектор-функцию. Соответствующая спектральная задача представляет собой систему Дирака. Получено обобщенное решение задачи. Рассмотрена смешанная задача, описывающая волновой процесс с инволютивным отклонением на геометрическом графе. В случае потенциала специального вида получены явные формулы решения.
Опубликованные в 2016 году работы
1. N. N. Avdeev, E. M. Semenov On the Sets of Points on the Plane with Integer-Valued Distances // Mathematical Notes, 2016, Vol. 100, No. 5, P. 118–121

2. E.Alekhno, E.Semenov, F.Sukochev, A.Usachev, On the structure of invariant Banach limits, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I V.354 (2016). P. 1195-1199

3. Баев А.Д. , Бунеев С.С. Краевые задачи для вырождающихся уравнений. Lamber Academic Publishing. Германия. 2016, 181 с., ISBN 978-3-659-95710-9 (Монография)

4. A. D. Baev, R. A. Kovalevskii, and P. A. Kobilinskii. On Degenerate Elliptic Equations of High Order and Pseudodifferential Operators with Degeneration // Doklady Mathematics, Vol. 94, No. 3, P. 1–4.

5. Баев А.Д., Работинская Н.И. О композиции и ограниченности одного класса вырождающихся псевдодифференциальных операторов. Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. 2016. № 3. С. 59– 70. http://www.vestnik.vsu.ru/pdf/physmath/2016/03/2016-03-06.pdf

6. Баев А.Д. Теорема об ограниченности одного класса весовых псевдодифференциальных операторов // Современные методы теории краевых задач : материалы международной конференции : Воронежская весенняя математическая школа Понтрягинские чтения XXVII. Дополнительный выпуск Воронеж : Издательский дом ВГУ, 2016. — С. 6-7.

7. Бурлуцкая М.Ш. Смешанная задача для системы дифференциальных уравнений первого порядка с непрерывным потенциалом // Известия Саратовского ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16, вып. 2. С. 145–151 http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=isu&paperid=630&option_lang=rus

8. Бурлуцкая М.Ш., Шайна Е.А. (Burlutskaya M.Sh., Shaina E.A.) Об одной смешанной задаче с инволюцией на графе // Современные методы теории краевых задач : материалы международной конференции : Воронежская весенняя математическая школа Понтрягинские чтения XXVII. Дополнительный выпуск Воронеж : Издательский дом ВГУ, 2016. — С. 10-12.

9. Газиев Э.Л., Копачевский Н.Д. (Gaziev E.L., Kopachevsky N.D.) Малые движения и собственные колебания системы «жидкость-баротропный газ» // Таврический вестник информатики и математики, 2016 г. № 2 (31). С. 18-55

10. Зверева М.Б. Об адаптации метода конечных элементов для задачи с разрывными решениями / М.Б. Зверева, Ж.О. Залукаева, С.А. Шабров // Вестник Воронежского государственного университета. Сер. Физика. Математика .— Воронеж, 2016 .— № 4. С. 112-120. http://www.vestnik.vsu.ru/pdf/physmath/2016/04/2016-04-11.pdf

11. Зверева М.Б. Моделирование колебаний системы струн на графе с вязкоупругой пружиной в узле / М.Б. Зверева, М.И. Каменский // Современные методы теории краевых задач : материалы международной конференции : Воронежская весенняя математическая школа Понтрягинские чтения XXVII. Дополнительный выпуск Воронеж : Издательский дом ВГУ, 2016. — С. 12-13.