Научные результаты

Результаты, полученные коллективом в 2016 году

  • Достигнуты новые успехи в изучении банаховых пределов:

Скачать (.pdf)

Установлены критерии В-собственности оператора (свойство, означающее инвариантность множества банаховых пределов относительно сопряженного оператора) и новые свойства экстремальных точек множества инвариантных пределов. Найдены условия выпуклости сфер множества банаховых пределов. Кроме того, изучены множества точек на плоскости с целочисленными расстояниями, не принадлежащие никакой прямой. Получены оценки минимального диаметра таких множеств. Изучены оптимальные наборы таких множеств, т.е. множеств с минимальным диаметром. Написана компьютерная программа, с помощью которой вычисляется минимальный диаметр множеств, когда число точек не более 43.

  • Были исследованы вопросы предельного поведения модели движения жидкости Гершель-Балкли в случае p >= (3n+4)/(n+2). На основе аппроксимационно-топологического подхода к исследованию задач гидродинамики доказано существование траекторного и глобального аттракторов рассматриваемой модели
  • Исследовался вопрос существования аттракторов для модели Бингама на трёхмерном торе. Получена теорема существования траекторного и глобального аттракторов.
  • Для математической модели, описывающей движение слабо концентрированных водных растворов полимеров с реологическим соотношением, удовлетворяющим принципу объективности, изучены вопросы существования пулбек-аттракторов. Получены теоремы существования траекторного и минимального pullback-аттракторов.
  • Изучены вопросы существования слабых решений начально-краевой задачи, описывающей математическую модель движения сред типа жидкости Фойгта. Для рассматриваемой математической модели, в которой учитывалась зависимость вязкости от температуры, что привело к появлению дополнительного параболического уравнения – закона сохранения энергии, введено понятие слабого решения, дана операторная трактовка рассматриваемой задачи, введена вспомогательная задача, получены необходимые априорные оценки, доказано на основе теории степени Лере-Шаудера существование слабых решений вспомогательной задачи, и получен предельный переход решений вспомогательной задачи к решениям исходной.
  • Для модели Джеффриса-Олдройда установлено существование слабых решений, определено семейство пространств траекторий, введены понятия траекторного и минимального pullback-аттракторов и доказано существование этих аттракторов.
  • Исследована задача о малых движениях и собственных колебаниях гидросистемы «идеальная жидкость-баротропный газ», находящейся в произвольной ограниченной области. Проведено исследование спектральной задачи о нахождении частот и форм собственных колебаний в цилиндрическом сосуде с произвольным поперечным сечением. Выделены спектры колебаний акустических волн, вызванных свойством баротропности газа, и гравитационно-капиллярных волн, возникающих в системе благодаря действию гравитационных и поверхностных сил.
  • Исследованы новые классы вырождающихся псевдодифференциальных операторов с переменными символами. Псевдодифференциальные операторы построены по специальному интегральному преобразованию, переводящему производные с весом в операцию умножения. Доказаны теоремы о композиции и ограниченности таких операторов в специальных весовых пространствах типа пространств С.Л. Соболева.
  • Исследованы свойства коммутаторов новых классов вырождающихся псевдодифференциальных операторов с операторами дифференцирования и операторами весового дифференцирования. Получены формулы представления коммутаторов этих операторов.
  • Исследовано поведение вырождающихся псевдодифференциальных операторов на границах областей, и доказана теорема о «следах» этих операторов на гиперплоскостях вырождения.
  • Исследована связь вырождающихся псевдодифференциальных операторов с некоторыми классами интегральных операторов, получена формула, связывающая вырождающийся псевдодифференциальный оператор с интегральным оператором специального вида. Исследован оператор, сопряженный к вырождающемуся псевдодифференциальному оператору. Получена формула представления символа этого оператора.
  • Доказаны аналоги неравенства Гординга для новых классов вырождающихся псевдодифференциальных операторов.
  • Рассмотрена модель колебаний разрывной стилтьесовской струны (цепочки из струн, соединенной между собой пружиной). Доказаны теоремы о существовании и единственности решения, исследована зависимость от начальных данных. Для промежутка времени, не превосходящего длины струны из цепочки, получено решение задачи граничного управления в случае краевых условий третьего рода. Разработан алгоритм с оценкой сходимости для нахождения приближенного решения задачи о деформации разрывной струны для случая как конечного, так и бесконечного числа точек разрыва.
  • Рассмотрены задачи о колебаниях струны с краевым условием гистерезисного типа люфт. Доказаны теоремы существования и единственности решения.
  • Исследована смешанная задача для дифференциальной системы первого порядка с двумя независимыми переменными и непрерывным потенциалом, возникающей при исследовании функционально-дифференциального уравнения с инволюцией, когда начальное условие представляет собой произвольную суммируемую с квадратом вектор-функцию. Соответствующая спектральная задача представляет собой систему Дирака. Получено обобщенное решение задачи. Рассмотрена смешанная задача, описывающая волновой процесс с инволютивным отклонением на геометрическом графе. В случае потенциала специального вида получены явные формулы решения.
Опубликованные в 2016 году работы