Научная школа

«Операторные уравнения в функциональных пространствах и приложения к нелинейному анализу»

Исследования, проводимые коллективом научной школы в рамках актуальных направлений современной математики, представляют интерес, как для развития фундаментальной науки, так и в прикладных задачах. Исследования проводятся при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 16-11-10125, выполняемый в Воронежском государственном университете)

Основные направления деятельности школы:

  • исследование новых свойств банаховых пределов и приложения к теории операторов;
  • исследование разрешимости и качественного поведения решений ряда задач неньютоновой гидродинамики и задач о колебаниях различных гидросистем;
  • исследование краевых задач для вырождающихся эллиптических и параболических уравнений высокого порядка;
  • исследование операторных уравнений, возникающих при изучении сложносочлененных физических систем, моделирующих процессы в физических средах, в проблемах инженерии, биологии, экономики и в других областях современного естествознания.

Актуальность и научная значимость этих задач состоит в следующем:

  1. Банаховы пределы, сингулярные симметричные функционалы и следы являются важным инструментом в различных областях анализа. В частности, с их помощью строятся сингулярные следы на некоммутативных банаховых пространствах измеримых операторов, которые находят важные приложения в теории гравитации, классической теории поля, физике элементарных частиц. Приоритетными задачами в этом направлении также являются исследования, проводимые в области теории всплесков, рядам по системе Хаара (пространства Пэли) и геометрии функциональных и перестановочно-инвариантных пространств.
  2. Гидродинамика издавна была источником большого числа математических задач, при решении которых как создавались новые, так совершенствовались и старые, классические математические методы. При этом основным объектом исследования для математиков являлись, как правило, краевые и начально-краевые задачи для системы уравнений Навье-Стокса. Но в последнее время внимание математиков обращено на то, что многие реальные среды, такие как битумы, полимеры, различные полимерные растворы и расплавы, эмульсии и суспензии, кровь и многие другие не описываются моделями классической (ньютоновской) гидродинамики, хотя они по многим признакам близки к жидкостям. Такие объекты получили название «неньютоновские жидкости».Впервые подобные модели жидкостей были предложены в XIX веке в работах Дж. Максвелла, Кельвина и Фойгта и были развиты в середине XX века в значительной степени благодаря работам Дж. Г. Олдройта. К несомненным достоинствам данных моделей следует отнести тот факт, что они учитывают предысторию течения жидкости, что позволяет им быть более точными, по сравнению с моделями классической гидродинамики.Рассматривается ряд математических моделей неньютоновской гидродинамики. Одной из рассматриваемых моделей является модель движения растворов полимеров (отметим, что математической моделью движения полимеров занималось большое число известных ученых: Дж.Г. Олдройт, Ю.А. Соболевский, В.И. Юдович, А.П. Осколков, В.Г. Литвинов, В.А. Павловский, G.P. Galdi, E.S. Titi, J. Malek, К. Трусделл и др.). Нами исследуется модель с реологическим соотношением, удовлетворяющим принципу объективности. Данные модели особенно сложны для изучения и на настоящее время, с точки зрения математических исследований, практически не изучены (имеется небольшое количество математических работ, большая часть из которых посвящена исследованию стационарных моделей, которые описывают только установившиеся течения и не дают ответа на ряд вопросов).Второй из рассматриваемых моделей неньютоновских жидкостей является модель движения жидкости Гершель-Балкли. Модель движения жидкости Гершель-Балкли (Herschel, W.H.; Bulkley, R. (1926), «Konsistenzmessungen von Gummi-Benzollosungen», Kolloid Zeitschrift 39: 291–300) является достаточно универсальной и часто используется для описания деформативных свойств жидкообразных материалов и паст (красок, глиняного теста, бетонной смеси), а также твердых материалов (бетона, металла) и многих других. Хорошим примером такой жидкости является краска — за счёт действия связующих веществ возникает порог для напряжения сдвига, и она способна образовывать неподвижные слои на вертикальных поверхностях. Любые другие жидкости будут стекать вниз. Для подобных жидкостей возможно наблюдение и других эффектов, связанных с нелинейностью, либо с существованием порога текучести. Одной из наиболее привлекательных особенностей этой модели является то, что установившееся вязкопластическое течение оказывается альтернативным описанием упругопластического поведения.Для модели движения жидкости Гершель-Балкли имеется большое количество работ, посвященных исследованию различных стационарных задач. Однако, нестационарные задачи для данной модели не исследованы. Стоит отметить, что модель Гершель-Балкли является обобщением модели Бингама движения жидкости, для которой имеется большое число работ. Однако, результаты, полученные для модели Бингама, напрямую не переносятся на данную модель. Это связано с большим количеством математических трудностей, возникающих при этом.Важно отметить, что именно такие модели, как описанные выше модели движения растворов полимеров и модель движения жидкости Гершель-Балкли, наиболее точно описывают поведение среды и именно их исследование является наиболее актуальным.
  3. Процессы с вырождением – это модели, в которых граница области оказывает существенное влияние на процессы, происходящие вблизи границы. В этом случае на границе области может меняться как тип уравнения, так и его порядок. Стационарные процессы с вырождением описываются краевыми задачами для уравнений, являющихся эллиптическими внутри области, которые на границе области меняют порядок по одной из переменных. При этом на границе области уравнение вырождается либо в эллиптическое уравнение, либо в параболическое уравнение. Такие уравнения возникают при математическом моделировании различных физических процессов. Например, подобные уравнения используются при исследовании стационарных процессов конвекции – диффузии в неоднородных анизотропных средах, характерных тем, что при приближении к границе коэффициент диффузии стремится к нулю. В частности, к таким уравнениям приводит математическое моделирование процессов фильтрации идеального баротропного газа в неоднородной анизотропной пористой среде, процессов фильтрации двухфазных жидкостей в том числе, процессов вытеснения нефти водой из пористой среды. Подобные уравнения возникают при моделировании процесса распространения примеси в жидкокристаллическом растворе, находящемся во внешнем электрическом поле, при исследовании стационарной задачи о контакте мягкой оболочки с препятствием, при расчете линейных стационарных магнитных осесимметричных полей в неоднородных анизотропных средах. Такие уравнения являются, например, обобщением сингулярно возмущенных уравнений конвекции – диффузии. Кроме того, известно, что нахождение решения краевой задачи для эллиптического уравнения эквивалентно минимизации некоторого функционала. В теории управления задача о минимуме некоторого функционала соответствует задаче об оптимальном управлении. Вырождающимся эллиптическим уравнениям соответствуют вырожденные или особые оптимальные управления. Это определяет актуальность исследования краевых задач для вырождающихся уравнений.
  4. Системы, моделирующие процессы в сложных физических средах, допускающих нелинейности типа гистерезиса, имеют огромное количество приложений в механике, физике и технике. Однако анализ таких систем в рамках имеющихся теорий является весьма сложной задачей. В данном проекте операторные методы будут применены к новым классам уравнений, предназначенным для описания негладких процессов с последействием и гистерезисными нелинейностями. Результаты, ожидаемые на этом пути, в настоящее время установлены лишь в весьма частных случаях. Математическое описание гистерезисных явлений на основе теории меры весьма актуально, поскольку обусловлено достаточно богатым набором прикладных задач в механике, физике и технике.

История

Раздел в разработке 🙁

Состав школы

Семенов Евгений Михайлович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теории функций и геометрии математического факультета ВГУ.

Семенов Е.М. родился 22.08.1940 года в г. Грозный. Окончил математико-механический факультет Воронежского государственного университета в 1962 году.

Продолжил обучение в аспирантуре при кафедре математического анализа Воронежского государственного университета под руководством профессора С Г. Крейна (1962-1964). Защитил диссертации «Шкалы банаховых пространств, соединяющие пространства L1 и L∞» на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 – математический анализ (1964) и «Интерполяция линейных операторов в симметричных пространствах» на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.01 – математический анализ (1968).

После окончания аспирантуры Е.М. Семенов работает на математическом факультете, а с 1972 года заведует кафедрой теории функций и геометрии.

В 1980-1985 г.г. он был деканом факультета. За время работы он прочитал много основных и специальных курсов на высоком научно — методическом уровне. Начиная со студенческих лет, Е.М. Семенов ведёт активную научную работу. Им опубликовано более 200 статей в ведущих российских и зарубежных журналах и две монографии. Одна из них издана в издательстве «Наука» и переведена на английский язык в США, вторая издана в Голландии. В 1967 году работа Е.М. Семенова была отмечена премией Ленинского комсомола в области науки. Имеет звание «Почетный сотрудник ВГУ».

Много лет Е.М. Семенов руководит группой исследователей, работающих по грантам РФФИ и других фондов.

Он участник многих международных научных конференций, выступал с докладами во многих зарубежных университетах, таких научных командировок у него было более 50. Под его руководством защищено 19 кандидатских диссертаций, 6 его учеников стали докторами наук. В настоящее время Е.М. Семенов является председателем специализированного совета по защите докторских диссертаций.

Лекции, семинары, конференции

Звягин Виктор Григорьевич, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры и топологических методов анализа математического факультета ВГУ.

Краткая аннотация научной деятельности: развитие теории топологической степени для различных классов возмущений нелинейных фредгольмовых отображений и на ее основе получение разрешимости краевых и периодических задач для уравнений эллиптического типа и обыкновенных дифференциальных уравнений; создание (совместно с учениками) аппроксимационно-топологического метода исследования задач гидродинамики, позволившего исследовать новые классы задач неньютоновской гидродинамики. Является руководителем научной школы по нелинейному анализу в Воронежском госуниверситете.

Награды и премии за научную деятельность:

  • Академик РАЕН;
  • Почетный академик Академии Нелинейных Наук;
  • Соросовский профессор;

Членство в редколлегиях ведущих рецензируемых научных изданий: член редакционного совета журнала «Journal of Fixed Point Theory and Applications» (Birkhauser, Швецария); член редакционного совета журнала «Известия вузов. Математика»; член редакционного совета серии «Физика, Математика» журнала Вестник Воронежского госуниверситета;

Членство в советах и научных сообществах: заместитель председателя специализированного совета по защите докторских диссертаций по специальности 01.01.01 и 01.01.02 в Воронежском госуниверситете; член экспертного совета ВАК РФ по математике и механике; координатор Научно-образовательного центра «Волновые процессы в неоднородных и нелинейных средах».

Основные публикации

Участие в образовательной деятельности:

  • Руководство аспирантами. За последнее годы под руководством Звягина В.Г. защитились 7 аспирантов.
  • Разработка новых спецкурсов:

1. «Топологические методы нелинейного анализа»;
2. «Динамические системы и теория бифуркаций»;
3. «Траекторные и глобальные аттракторы гидродинамики»;
4. «Теория степени фредгольмовых отображений и ее приложения»,

которые читаются как бакалаврам и магистрам математического факультета ВГУ, так и по сокращенной программе сотрудникам Политехнического института (Турин, Италия), университета Флоренции (Италия), в международном математическом центре Банаха Польской академии наук (Варшава), университете Коимбры (Португалия).


Баев Александр Дмитриевич, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического анализа математического факультета ВГУ.

Краткая аннотация научной деятельности: краевые задачи для уравнений математической физики, теория псевдодифференциальных операторов, вырождающиеся эллиптические и параболические уравнения, математические модели процессов с вырождением.


Членство в редколлегиях ведущих рецензируемых научных изданий:

Главный редактор журнала «Вестник Воронежского государственного университета. Серия Физика. Математика».

Членство в советах и научных сообществах: председатель специализированного совета по защите докторских диссертаций по специальностям 05.13.17 и 05.13.18 в Воронежском госуниверситете.

Список публикаций

Участие в образовательной деятельности:

  • Руководство аспирантами. Подготовил, в качестве научного руководителя, 5 кандидатов наук.
  • Разработка новых спецкурсов:
    1. «Псевдодифференциальные операторы и их свойства»;
    2. «Асимптотические методы вычисления интегралов,

которые читаются бакалаврам и магистрам математического факультета ВГУ.


Копачевский Николай Дмитриевич, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического анализа математического факультета федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Крымский Федеральный Университет имени В.И. Вернадского».

 

Краткая аннотация научной деятельности: применение методов теории линейных операторов в задачах механики сплошных сред, изучение дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, возникающих при рассмотрении процесса малых движений и нормальных колебаний жидкости в ограниченном сосуде, качественное исследование спектральных свойств дифференциальных операторов, свойств операторных блок-матриц и операторных пучков с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве, спектральные задачи сопряжения в липшицевых областях, вопросы разрешимости краевых задач математической физики.

Награды и премии за научную деятельность:

  • Заслуженный деятель науки и техники Украины (1992);
  • Заслуженный работник образования Автономной Республики Крым (2000);
  • Лауреат Премии им. В. И. Вернадского (2001);
  • Кавалер ордена «За заслуги» III степени (2008);
  • Лауреат Государственной Премии Украины в области науки и техники (2013);

Членство в редколлегиях ведущих рецензируемых научных изданий:

Член редколлегий рецензируемых международных журналов: «Современная математика. Фундаментальные направления» (Университет Дружбы народов, Москва, Россия); «Украинский математический вестник» (Академия наук Украины, Донецк, Украина). «Динамические системы» (Симферополь, Россия).

Членство в советах и научных сообществах:

Член Национального Комитета Украины по теоретической и прикладной механике (1999), Академик Крымской Академии Наук (1994), Академик Петровской Академии Наук и Искусств (г. Санкт-Петербург, 2010), Член Германской Математико-Инженерной Ассоциации (GAMM, 1999).

Список публикаций

Участие в образовательной деятельности:

  • Руководство аспирантами, 21 из них защитили кандидатские диссертации.
  • Разработка новых спецкурсов:
    • Операторные методы в линейной гидродинамике;
    • Колебания жидкости в условиях невесомости;
    • Интегро-дифференциальные уравнения Вольтерра в гильбертовом пространстве;
    • Спектральная теория операторных пучков;
    • Абстрактная формула Грина и ее приложения,

которые читаются бакалаврам и магистрам математического факультета в Таврической академии Крымского Федерального Университета имени В.И. Вернадского.

Научные результаты

Результаты, полученные коллективом в 2016 году

  • Достигнуты новые успехи в изучении банаховых пределов:

Скачать (.pdf)

Установлены критерии В-собственности оператора (свойство, означающее инвариантность множества банаховых пределов относительно сопряженного оператора) и новые свойства экстремальных точек множества инвариантных пределов. Найдены условия выпуклости сфер множества банаховых пределов. Кроме того, изучены множества точек на плоскости с целочисленными расстояниями, не принадлежащие никакой прямой. Получены оценки минимального диаметра таких множеств. Изучены оптимальные наборы таких множеств, т.е. множеств с минимальным диаметром. Написана компьютерная программа, с помощью которой вычисляется минимальный диаметр множеств, когда число точек не более 43.

  • Были исследованы вопросы предельного поведения модели движения жидкости Гершель-Балкли в случае p >= (3n+4)/(n+2). На основе аппроксимационно-топологического подхода к исследованию задач гидродинамики доказано существование траекторного и глобального аттракторов рассматриваемой модели
  • Исследовался вопрос существования аттракторов для модели Бингама на трёхмерном торе. Получена теорема существования траекторного и глобального аттракторов.
  • Для математической модели, описывающей движение слабо концентрированных водных растворов полимеров с реологическим соотношением, удовлетворяющим принципу объективности, изучены вопросы существования пулбек-аттракторов. Получены теоремы существования траекторного и минимального pullback-аттракторов.
  • Изучены вопросы существования слабых решений начально-краевой задачи, описывающей математическую модель движения сред типа жидкости Фойгта. Для рассматриваемой математической модели, в которой учитывалась зависимость вязкости от температуры, что привело к появлению дополнительного параболического уравнения – закона сохранения энергии, введено понятие слабого решения, дана операторная трактовка рассматриваемой задачи, введена вспомогательная задача, получены необходимые априорные оценки, доказано на основе теории степени Лере-Шаудера существование слабых решений вспомогательной задачи, и получен предельный переход решений вспомогательной задачи к решениям исходной.
  • Для модели Джеффриса-Олдройда установлено существование слабых решений, определено семейство пространств траекторий, введены понятия траекторного и минимального pullback-аттракторов и доказано существование этих аттракторов.
  • Исследована задача о малых движениях и собственных колебаниях гидросистемы «идеальная жидкость-баротропный газ», находящейся в произвольной ограниченной области. Проведено исследование спектральной задачи о нахождении частот и форм собственных колебаний в цилиндрическом сосуде с произвольным поперечным сечением. Выделены спектры колебаний акустических волн, вызванных свойством баротропности газа, и гравитационно-капиллярных волн, возникающих в системе благодаря действию гравитационных и поверхностных сил.
  • Исследованы новые классы вырождающихся псевдодифференциальных операторов с переменными символами. Псевдодифференциальные операторы построены по специальному интегральному преобразованию, переводящему производные с весом в операцию умножения. Доказаны теоремы о композиции и ограниченности таких операторов в специальных весовых пространствах типа пространств С.Л. Соболева.
  • Исследованы свойства коммутаторов новых классов вырождающихся псевдодифференциальных операторов с операторами дифференцирования и операторами весового дифференцирования. Получены формулы представления коммутаторов этих операторов.
  • Исследовано поведение вырождающихся псевдодифференциальных операторов на границах областей, и доказана теорема о «следах» этих операторов на гиперплоскостях вырождения.
  • Исследована связь вырождающихся псевдодифференциальных операторов с некоторыми классами интегральных операторов, получена формула, связывающая вырождающийся псевдодифференциальный оператор с интегральным оператором специального вида. Исследован оператор, сопряженный к вырождающемуся псевдодифференциальному оператору. Получена формула представления символа этого оператора.
  • Доказаны аналоги неравенства Гординга для новых классов вырождающихся псевдодифференциальных операторов.
  • Рассмотрена модель колебаний разрывной стилтьесовской струны (цепочки из струн, соединенной между собой пружиной). Доказаны теоремы о существовании и единственности решения, исследована зависимость от начальных данных. Для промежутка времени, не превосходящего длины струны из цепочки, получено решение задачи граничного управления в случае краевых условий третьего рода. Разработан алгоритм с оценкой сходимости для нахождения приближенного решения задачи о деформации разрывной струны для случая как конечного, так и бесконечного числа точек разрыва.
  • Рассмотрены задачи о колебаниях струны с краевым условием гистерезисного типа люфт. Доказаны теоремы существования и единственности решения.
  • Исследована смешанная задача для дифференциальной системы первого порядка с двумя независимыми переменными и непрерывным потенциалом, возникающей при исследовании функционально-дифференциального уравнения с инволюцией, когда начальное условие представляет собой произвольную суммируемую с квадратом вектор-функцию. Соответствующая спектральная задача представляет собой систему Дирака. Получено обобщенное решение задачи. Рассмотрена смешанная задача, описывающая волновой процесс с инволютивным отклонением на геометрическом графе. В случае потенциала специального вида получены явные формулы решения.
Опубликованные в 2016 году работы

 

Контакты

Раздел в разработке 🙁